SG函数和SG定理(Sprague_Grundy)

可能岁月会偷走等待

 
1、必胜面战必败面的观点


       P面：必败面，换而行之，便是谁处于此地位，则正在单方操纵准确的状况下必败。
       N面：必胜面，处于此状况下，单方操纵均准确的状况下必胜。
必胜面战必败面的性子：
        1、一切闭幕面是 必败面 P 。（我们以此为底子条件停止推理，换句话道，我们以此为假定）
        2、从任何须胜面N 操纵，最少有一种方法能够进进必败面 P。
        3、不管怎样操纵，必败面P 皆只能进进 必胜面 N。
我们研讨必胜面战必败面的目标工夫为题停止简化，有助于我们的阐发。凡是我们阐发必胜面战必败面皆是以闭幕面停止顺序阐发。我们以hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!为例：
当 n = 0 时，明显为必败面，由于此时您曾经没法停止操纵了
当 n = 1 时，由于您一次就能够拿完一切牌，故此时为必胜面
当 n = 2 时，也是一次就能够拿完，故此时为必胜面
当 n = 3 时，要末便是剩一张要末剩两张，不管怎样与对圆皆将面临必胜面，故那一面为必败面。
以此类推，最初您就能够获得；
      n    ：   0    1    2    3    4   5    6 ...
position：  P    N   N    P   N   N   P ...
您发明了甚么出有，对，他们便是成有纪律，利用了 P/N去阐发，有无以为成绩变简朴了。
2、Sprague-Grundy定理（SG定理）

        游戏战的SG函数便是各个游戏SG函数的Nim战。如许就能够将每个子游戏分而治之，从而简化了成绩。而Bouton定理便是Sprague-Grundy定理正在Nim游戏中的间接使用，由于单堆的Nim游戏 SG函数满意 SG(x) = x。
（NIM游戏：https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073）
3、Sprague-Grundy函数（SG函数）

        起首定义mex(minimal excludant)运算，那是施减于一个会萃的运算，表示最小的没有属于那个会萃的非背整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
        关于随便形态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),此中 S 是 x 后继形态的SG函数值的会萃。如 x 有三个后继形态别离为 SG(a),SG(b),SG(c)，那末SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 如许 会萃S 的末态一定是空散，以是SG函数的末态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败面P时。
4、例题

http://poj.org/problem?id=2975
http://poj.org/problem?id=2960
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/338/I
5、参考文章

https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495
https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html
https://blog.csdn.net/kamisama123/article/details/77649118
 

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